数学Ａ　集合と論理

必要条件・十分条件

必要条件・十分条件は（特に未解決の）問題を解く上で非常に大切な概念である． しかし教科書では形式的な扱い方が多く，また使い方が示されていないため， 生徒に本質が伝わっていないようである． ここで，本質を重視した解説と例題を紹介する．

Ｐ→Ｑ の読み方
ふつう「ＰならばＱ」と読む．
状況によって次のように読むと意味が通じやすい．

ＰのときＱになる　　　　　　 例： x=0 → xy=0
　
ＰになるのはＱのときに限る　 例： x2+y2=0 → x=0

定義
Ａ→Ｐ （ＡのときＰになる）が成り立つとき
　　ＡをＰの十分条件という．
　
Ｐ→Ｂ （ＰになるのはＢのときに限る）が成り立つとき
　　ＢをＰの必要条件という．
Ａ,Ｂ,Ｐは形式的には任意の命題であるが， 本質的には，Ｐは真偽の判定が複雑な命題，Ａ,Ｂは真偽の判定が容易な命題である．
「Ｐ→Ｑ」が成り立つとき，
　ＰをＱの十分条件，
　ＱをＰの必要条件という
と定義するのは，形式的すぎる。
本質が見えないのでよくない．

　
使い方
Ｐを肯定的に示すときに，十分条件Ａが用いられる．
十分条件の適用（modus ponens）
Ａ→Ｐ ＡのときＰになる
Ａ Ａである
∴ Ｐ ゆえに，Ｐである

Ｐを否定的に示すときに，必要条件Ｂが用いられる．
必要条件の適用（modus tollens）
Ｐ→Ｂ ＰになるのはＢのときに限る
not Ｂ Ｂでない
∴ not Ｐ ゆえに，Ｐでない

実際には，Ａ→Ｐ，Ｐ→Ｂ は省略されることが多い。
例 1,2,3,4,5,6からなる6桁の数ｎは平方数にならない。
ｎの各桁の数字の和をS(n)とする。
S(n)=21 は3で割り切れる
∴ ｎは3で割り切れる (十分条件の適用)
S(n) は9で割り切れない
∴ ｎは9で割り切れない (必要条件の適用)
∴ ｎは平方数でない (必要条件の適用)
　
S(n)が3で割り切れる
　→ ｎは3で割り切れる
ｎが9で割り切れる
　→ S(n)は9で割り切れる
ｎが3で割り切れるとき
ｎが平方数
　→ ｎは9で割り切れる

例題１
次の自然数が４で割り切れるかどうか判定し， ○(割り切れる)か×(割り切れない)で答えなさい．

自然数 　判定 　　　自然数 　判定
76595 　(　) 50300 　(　)
30010 　(　) 46502 　(　)
29418 　(　) 93236 　(　)
自然数ｎについての次の条件が「ｎが４で割り切れる」ための 必要条件であるかないか，および十分条件であるかないか， それぞれの欄に○か×で答えなさい． 両方とも○になる条件を必要十分条件という。

条件 必要条件 十分条件
ｎの下１桁が２で割り切れる 　(　) 　(　)
ｎの各桁の和が４で割り切れる 　(　) 　(　)
ｎの下２桁が00である 　(　) 　(　)
ｎの下１桁が４で割り切れる 　(　) 　(　)
ｎの下２桁が４で割り切れる 　(　) 　(　)
いずれの条件も，
「ｎ全体を４で割って調べる」
よりも簡単に調べられる．

「下２桁が４で割り切れる」
ことが「４で割り切れる」
ための必要十分条件である
と言うが，
「４で割り切れる」ことが
「下２桁が４で割り切れる」
ための必要十分条件である
と言うのは不自然である．

　
次の自然数が４で割り切れるかどうか判定しなさい．
自然数 　判定
8875132097820148334 　(　)
4548629901787839506 　(　)
6421582851073593700 　(　)
7548087671524378967 　(　)
9897138243866143272 　(　)

自然数ｎについて，「ｎが８で割り切れる」ための簡単な必要十分条件を述べなさい．

例題２
m,n は2 以上の整数とする．
1×1 の大きさの正方形を４つつなげたＬ字形のタイルがある．
このタイルで m×n の大きさの長方形を隙間なく敷き詰められるかという問題を考える．

6×10 の場合の途中図

敷き詰められるための必要条件
面積 mn が４の倍数

問題　2×4 の長方形を敷き詰めよ．
ゆえに，2×4 の長方形で敷き詰められる大きな長方形はＬ字形タイルで敷き詰められる．

敷き詰められるための十分条件
m が偶数 かつ n が 4 の倍数
n が偶数 かつ m が 4 の倍数

問題　3×8 の長方形を敷き詰めよ．
ゆえに，2×4 の長方形と 3×8 の長方形で敷き詰められる大きな長方形はＬ字形タイルで敷き詰められる．

敷き詰められるための十分条件
n が 8 の倍数
m が 8 の倍数

上の十分条件をまとめて次のように表せる．
敷き詰められるための十分条件
面積 mn が 8 の倍数

問題 面積 mn が 4 の倍数であるが 8 の倍数でない長方形について， Ｌ字形タイルで敷き詰められないことを示せ．
　
　
ヒント： 縞模様に色分けする．

これで解決した．
敷き詰められるための必要十分条件
面積 mn が 8 の倍数
　
注： m,n は2以上である．