数学U 数列

数学的帰納法

数学的帰納法というと証明に使う手段というイメージが強いが, 定義にも使われるし,解を発見するために用いる非常に有用な道具である.

数学的帰納法によって解を発見する例を紹介する.

考え方
自然数nに関する問題を解くとき, いきなり一般の(あるいは大きな)nについて解こうとすると難しい. 小さなn=1,2,3,… について具体的に解いてみる. そのとき,いままで得られた(より小さいnについての)解答を利用してもよいことに注意する. その課程で,kより小さいnについての解答を利用して n=kのときの解答を得る一般的な方法が見つかれば, それを順々に適用することによって,大きなnについての解答が得ることができる.
この帰納的な解法から,任意のnについて直接解答を導く解法が得られるとは限らない. (数列において,漸化式から一般項が求められるのは,特殊な場合だけである.) 大きなnについても,時間をかければ解答が得られることが重要である.
逆の考え方
大きなnについての問題を,より小さいnについての問題に帰着することを考える. どんどん小さいnに帰着していって,いつか具体的に解けるnに到達すると, 初めのnについての解答ができあがっている.
数列の漸化式は数学的帰納法を用いた定義の典型的な例である.
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