実験１
- クラスの生徒にさいころを１つずつ渡す．
- 特定の目（たとえば３）が出るまで振り続けて，何回かかったか記録する.
- 平均何回かかるだろうか.
実験１の平均回数の理論値
- この平均値（期待値）は無限等比数列の和になるが，
次のように考えると直観的に求められる.
- 非常に大勢の人が，さいころを３の目が出るまで振り続けるとする．
- ３が出たときは赤い砂を１グラム貰って終える.
- ３以外が出たときは青い砂を１グラム貰って振り続ける.
- 砂を１グラムだけ貰う人が全体の６分の１いる．
- 砂を２グラムだけ貰う人が残りの６分の１いる．
- 砂を３グラムだけ貰う人がさらに残りの６分の１いる．
- …
- 砂をたくさん貰った人が少ししか貰わなかった人に青い砂を譲って全員が同じグラム数になるようにする.
- そのとき，各人が持っている砂のグラム数が求める期待値（平均値）である.
- １回目に青い砂を貰った人は赤い砂を貰った人の５倍いる.
- ２回目も青い砂を貰った人は赤い砂を貰った人の５倍いる.
- …
- ゆえに全員が貰った砂を合わせると，青い砂が赤い砂の５倍ある.
- 全員が同じグラム数になるように青い砂を譲り合った後，各人が持っている砂は
- 赤い砂が１グラム
- 青い砂が赤い砂の５倍，すなわち５グラム
- 合わせて６グラムである.
- したがって，平均回数は６回である.
- 一般に，独立試行を繰り返し行うとき，ある事象が初めて起こるまでにかかる試行の平均回数は，
１/ｐ回 である．
ただし，ｐは１回の試行でその事象が起こる確率である．
実験２
- すべての目が出るまでさいころを振り続けて，かかった回数を記録する.
- 平均して何回かかるだろうか．
実験２の平均回数の理論値
- １つ目の目は何でもよい．
- 必ず１回目に出るから，それまでにかかる回数は１回である.
- 出た目をａとする．
- ２つ目の目はａ以外の目である．
- ａ以外の目が出る確率は ５/６ だから，１つ目が出てから平均 ６/５回 かかる．
- 出た目をｂとする．
- ３つ目の目はａ，ｂ以外の目である．
- ａ，ｂ以外の目が出る確率は ４/６ だから，２つ目の目が出てから平均 ６/４回 かかる．
- …
- 最後の目が出る確率は １/６ だから，５つ目の目が出てから平均 ６/１回かかる.
- したがって，全部の目が出揃うまでにかかる平均回数は次のようになる．
- ６/６＋６/５＋６/４＋６/３＋６/２＋６/１＝14.7 回
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