負の数×負の数

なぜ「負の数×負の数＝正の数」なのかという質問をしばしば受ける．
そのとき「そのように定めると効用が多いから」と答える．
負の数を用いると，何かが増える（あるいは超過している）状態を表すのと同じ表現（式）によって，減る（あるいは不足している）状態をもまとめて表すことができるという効用がある．
「負×負＝正」と定めることによって，まとめて表すことができる状態が増えるのである．
「速度×時間＝距離」もその１つであるが，これについては多く語られているので，ここでは，「長さ×長さ＝面積」について考える．

長さの符号をつぎのように定める．

横の長さにについて

右（西から東）に向かって測った長さを正，

左（東から西）に向かって測った長さを負とする．

縦の長さについて

上（南から北）に向かって測った長さを正，

下（北から南）に向かって測った長さを負とする．

負の数の積の定義によると，面積の符号は次のようになる．

横の長さ	×	縦の長さ	＝	面積
正（＋）	×	正（＋）	＝	正（＋）
正（＋）	×	負（－）	＝	負（－）
負（－）	×	正（＋）	＝	負（－）
負（－）	×	負（－）	＝	正（＋）

　: →; ←
　: ↑; ↓

長方形の面積

横（東西）が４ｍ，縦（南北）が３ｍの長方形の土地の横または縦を増やしたり減らしたりする．
減らす場合も増やす場合も新しい長方形の面積が４つの長方形の和という同じ表現で表すことができることを確認する．

横を１ｍ増やし縦も１ｍ増やした場合

４×３＋１×３＋４×１＋１×１
　　＝１２＋３＋４＋１

横を１ｍ減らして縦を１ｍ増やした場合

新しい長方形の面積は，やはり４つの長方形の面積の和で表される．

４×３＋(－１)×３＋４×１＋(－１)×１
　　＝１２＋(－３)＋４＋(－１)

横を１ｍ減らして縦も１ｍ減らした場合

新しい長方形の面積は，やはり４つの長方形の面積の和で表される．

４×３＋(－１)×３＋４×(－１)＋(－１)×(－１)
　　＝１２＋(－３)＋(－４)＋(＋１)

面積の符号にはどんな意味があるか

横の長さの場合，正は東向きを表し負は西向きを表す．時間の場合，正は未来を表し負は過去を表す．このように，負は正の逆向きを表している．面積の場合，正と負では何が逆向きになっているのだろうか．原点がＯのｘｙ平面上の図形の（符号を考えた）面積Ｓについていくつかの場合を調べてみよう．一般に点Ｐの座標を (ｘ_P,ｙ_P) で表し，Ｐからｘ軸，ｙ軸に下ろした垂線の足をそれぞれＰ_x，Ｐ_yで表すことにする．
長方形ＰＰ_yＯＰ_xの場合Ｓ＝ｘ_Pｙ_P と定める． \|Ｓ\|は普通の（符号を考えない）面積と一致する．Ｓ＞０になるのはＰが第１象限にあるときＰが第３象限にあるときＳ＜０になるのはＰが第２象限にあるときＰが第４象限にあるとき
長方形ＰＱＱ_xＰ_xの場合（ただしｙ_P＝ｙ_Q）Ｓ＝(ｘ_P－ｘ_Q)ｙ_P と定める． \|Ｓ\|は普通の（符号を考えない）面積と一致する．Ｓ＞０になるのはＰ，Ｑがｘ軸より上にあって，ＰがＱより右にあるときＰ，Ｑがｘ軸より下にあって，ＰがＱより左にあるときＳ＜０になるのはＰ，Ｑがｘ軸より上にあって，ＰがＱより左にあるときＰ，Ｑがｘ軸より下にあって，ＰがＱより右にあるとき
台形ＰＱＱ_xＰ_xの場合（ただしｙ_P,ｙ_Q は同符号）Ｓ＝(ｘ_P－ｘ_Q)(ｙ_P＋ｙ_Q)/２と定める． \|Ｓ\|は普通の（符号を考えない）面積と一致する．Ｓ＞０になるのはＰ，Ｑがｘ軸より上にあって，ＰがＱより右にあるときＰ，Ｑがｘ軸より下にあって，ＰがＱより左にあるときＳ＜０になるのはＰ，Ｑがｘ軸より上にあって，ＰがＱより左にあるときＰ，Ｑがｘ軸より下にあって，ＰがＱより右にあるとき言い換えるとＳ＞０になるのはＰＱＱ_xＰ_xが反時計回りにあるときＳ＜０になるのはＰＱＱ_xＰ_xが時計回りにあるとき
図形ＰＱＱ_xＰ_xの場合（ただしｙ_P,ｙ_Q は異符号）この場合は台形ではないが，台形の場合と同じ式でＳ＝(ｘ_P－ｘ_Q)(ｙ_P＋ｙ_Q)/２と定める．Ｓは２つの三角形の（符号を考えない）面積の差 △₊－△_- になる． △₊ はＰＱＱ_xＰ_xとたどったとき反時計回りに囲まれる三角形の面積 △_- はＰＱＱ_xＰ_xとたどったとき時計回りに囲まれる三角形の面積

三角形ＰＱＲの場合

３つの台形ＰＱＱ_xＰ_x，ＱＲＲ_xＱ_x，ＲＰＰ_xＲ_x の(符号つき)面積の和と考えればよい．
Ｓ＝(ｘ_P－ｘ_Q)(ｙ_P＋ｙ_Q)/２
　＋(ｘ_Q－ｘ_R)(ｙ_Q＋ｙ_R)/２
　＋(ｘ_R－ｘ_P)(ｙ_R＋ｙ_P)/２と定める．
|Ｓ|は普通の面積と一致する．

Ｓ＞０になるのは: Ｐ，Ｑ，Ｒが反時計回りにあるとき
Ｓ＜０になるのは: Ｐ，Ｑ，Ｒが時計回りにあるとき

一般の多角形Ｐ₁Ｐ₂Ｐ₃……Ｐ_n の場合

ｎ個の台形の(符号つき)面積の和と考えればよい．
Ｓ＝(ｘ₁－ｘ₂)(ｙ₁＋ｙ₂)/２
　＋(ｘ₂－ｘ₃)(ｙ₂＋ｙ₃)/２
　＋……
　＋(ｘ_n－ｘ₁)(ｙ_n＋ｙ₁)/２と定める．
|Ｓ|は普通の面積と一致する．

Ｓ＞０になるのは: Ｐ₁Ｐ₂Ｐ₃……Ｐ_n が反時計回りにあるとき
Ｓ＜０になるのは: Ｐ₁Ｐ₂Ｐ₃……Ｐ_n が時計回りにあるとき

このように，面積は外周をたどる向きによって正負を定めることにより効用が高まる．

横の長さの場合，正は東向きを表し負は西向きを表す．時間の場合，正は未来を表し負は過去を表す．このように，負は正の逆向きを表している．面積の場合，正と負では何が逆向きになっているのだろうか．原点がＯのｘｙ平面上の図形の（符号を考えた）面積Ｓについていくつかの場合を調べてみよう．一般に点Ｐの座標を (ｘ_P,ｙ_P) で表し，Ｐからｘ軸，ｙ軸に下ろした垂線の足をそれぞれＰ_x，Ｐ_yで表すことにする．
長方形ＰＰ_yＯＰ_xの場合Ｓ＝ｘ_Pｙ_P と定める． \|Ｓ\|は普通の（符号を考えない）面積と一致する．Ｓ＞０になるのはＰが第１象限にあるときＰが第３象限にあるときＳ＜０になるのはＰが第２象限にあるときＰが第４象限にあるとき
長方形ＰＱＱ_xＰ_xの場合（ただしｙ_P＝ｙ_Q）Ｓ＝(ｘ_P－ｘ_Q)ｙ_P と定める． \|Ｓ\|は普通の（符号を考えない）面積と一致する．Ｓ＞０になるのはＰ，Ｑがｘ軸より上にあって，ＰがＱより右にあるときＰ，Ｑがｘ軸より下にあって，ＰがＱより左にあるときＳ＜０になるのはＰ，Ｑがｘ軸より上にあって，ＰがＱより左にあるときＰ，Ｑがｘ軸より下にあって，ＰがＱより右にあるとき
台形ＰＱＱ_xＰ_xの場合（ただしｙ_P,ｙ_Q は同符号）Ｓ＝(ｘ_P－ｘ_Q)(ｙ_P＋ｙ_Q)/２と定める． \|Ｓ\|は普通の（符号を考えない）面積と一致する．Ｓ＞０になるのはＰ，Ｑがｘ軸より上にあって，ＰがＱより右にあるときＰ，Ｑがｘ軸より下にあって，ＰがＱより左にあるときＳ＜０になるのはＰ，Ｑがｘ軸より上にあって，ＰがＱより左にあるときＰ，Ｑがｘ軸より下にあって，ＰがＱより右にあるとき言い換えるとＳ＞０になるのはＰＱＱ_xＰ_xが反時計回りにあるときＳ＜０になるのはＰＱＱ_xＰ_xが時計回りにあるとき
図形ＰＱＱ_xＰ_xの場合（ただしｙ_P,ｙ_Q は異符号）この場合は台形ではないが，台形の場合と同じ式でＳ＝(ｘ_P－ｘ_Q)(ｙ_P＋ｙ_Q)/２と定める．Ｓは２つの三角形の（符号を考えない）面積の差 △₊－△_- になる． △₊ はＰＱＱ_xＰ_xとたどったとき反時計回りに囲まれる三角形の面積 △_- はＰＱＱ_xＰ_xとたどったとき時計回りに囲まれる三角形の面積