二次関数の最大最小の例題

概要

導入(用紙の二辺の比が 1:√2 であることを確認する)

(理論的)

用紙を二枚配る. 一方を対角線で折って折り目をつける.

もう一方を短い辺どうしが重なるように半分に折る. 半分に折ったままで対角線を折る.

両方をうまく重ねると,二辺と対角線が重なり合う.

これより,両者は相似な長方形で面積の比が 1:2 であることがわかる． ゆえに,両者の(長)辺の比,すなわち用紙の短辺と長辺の比は 1:√2 である.

(直観的)

用紙の四つの頂点を O,A,C,B とする(OA が短辺,OB が長辺).

OA が OB 上に重なるように折って折り目 OP をつける(P は辺 AC 上).

OB が OP 上に重なるように折る. B が P に重なることを確認する.

これより,次のことがわかる.
　　OB＝OP＝√2 OA

演出(問題の奥にある意味を理解する)

(作業)

先と同じように用紙を OACB とする. 二辺 OA,OB をそれぞれ八等分する印をつける. 半分に折ることを繰り返してできる. ただし,折り目は辺のそばだけ,なるべく短くつけるようにする.

OA の八等分点の1番目と OB の八等分点の7番目が両端となるような折り目をつける.

同様に,2番目と6番目,3番目と5番目,……,7番目と1番目を結ぶ折り目をつける.

そうすると,折り目に沿って曲線が浮かび上がって見える.

八等分ではなくもっと細かく等分して同じことをすれば,もっとくっきり浮かび上がる.

(説明)

実はこの曲線は放物線であるが,傾いている. どのくらい傾いているのだろうか?

頂点は最も短い折り目(八等分点とは限らない)の上にあり, 軸はその折り目に垂直な線である.

問題

(問題)

O(0,0),A(1,0),B(0,√2) とする.

OA 上の点 P(t,0) と OB 上の点 Q(0,√2(1-t)) を結んだ線分 PQ の長さが 最小になるときのtの値を求めよ.

(解答)

t＝2/3

(追加説明)

一般に，平行四辺形 OACB の OA 上の点 tOA と OB 上の点 (1−t)OB を結ぶ線分によって 浮かび上がる曲線(包絡線)は，軸が対角線 OC に平行な放物線になる．

また頂点を通る線分が最も短い．