数学U いろいろな関数

三角関数の公式の図解

三角関数の公式の多くは元になる公式から式変形によって得られる. しかし,こうして代数的に得られた公式を暗記してもすぐ忘れがちである. 図を用いて幾何的に確認することによって忘れにくくなることが期待できる. 図解は一般角についての公式の証明としては不十分である.

余弦定理
2=□BCGF
=□CGML+□BFML
=□CHON+□BEKJ
=□CAIH−□AION+□ABED−□ADKJ
=b2−bccosA+c2−cbcosA
=b2+c2−2bccosA

相互関係
 
AH=ACcosθ=cos2θ
BH=BCsinθ=sin2θ
cos2θ+sin2θ=1
 
AB=AC/cosθ=1/cos2θ
BH=CHtanθ=tan2θ
1/cos2θ=1+tan2θ

加法定理
 
sin(α+β)=BC=BH+HC=BH+ED
=BEcosβ+AEsinβ
=sinα cosβ+cosα sinβ
 
cos(α+β)=AC=AD−CD=AD−HE
=AEcosβ−BEsinβ
=cosα cosβ−sinα sinβ
OHを基にして三角形OABをかく.
長方形OHAKをかく.
∠BOC=直角 のようにCをかく.
 
∠ACB=∠AOB=α+β
AB=AH+HB=tanα+tanβ
AC=AK−KC=1−tanα tanβ
 
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1−tanα tanβ)

半角公式(倍角公式の逆)
 
AM=BM=CM=1/2
∠BMC=2∠BAC=2θ
MH=1/2cos2θ
 
sin2θ=BH=BM−MH
=1/2−1/2cos2θ
cos2θ=AH=AM+MH
=1/2+1/2cos2θ

3倍角公式の逆
 
CN=MN=HN=1/4
∠HNC=2∠HMC=4θ
∠HNK=3θ
 
sin3θ=BD=(BC-CK)−DK
=3/4sinθ−1/4sin3θ
cos3θ=AE=(AC-CJ)+EJ
=3/4cosθ+1/4cos3θ

tanで表す倍角公式
 
HK=CK=MK tanθ=tan2θ
AH=AK−HK=1−tan2θ
BH=2MK=2tanθ
AB=AC=AK+KC=1+tan2θ
 
sin2θ=2tanθ/(1+tan2θ)
cos2θ=(1−tan2θ)/(1+tan2θ)
tan2θ=2tanθ/(1−tan2θ)

合成(加法定理の逆)
 
asinθ+bcosθAHOK
A'H'OK'
A'L
=rsin(θ+α)
 
三角形OAA'より
2=a2+b2
cosα=a/r
sinα=b/r