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切符パズル

電車の切符の番号や自動車のナンバープレートなど4桁の数を見たとき, その4つの数字を使って四則(加減乗除)だけで10を作るというパズルをやったことがあるでしょう。 もちろん 1111 のように 10 が作れないような4つの数字の組合せもあります。 10 が作れない組合せはどのくらいあるでしょうか。

4つの数字の組み合わせは全部で何通りあるでしょうか。
a=A+1,b=B+2,c=C+3,d=D+4 とすると
  0≦A≦B≦C≦D≦9 ⇔ 1≦a<b<c<d≦13 
なので,1〜13 の13個の数から異なる4つの数 a,b,c,d を選んで, A=a-1,B=b-2,C=c-3,D=d-4 とすればよいことがわかります。
したがって 13C4=715 通りあります。

10 ができないことを確認するためには,すべての式を調べなくてはいけません。
式は全部で何通りあるでしょうか。
AoAoAoA の形をしている(Aに数字,oに演算子が入る)
A に入れる数字の選び方が 4!=24 通り
o に入れる演算子の選び方が 43=64 通り
さらに演算の順序を定める括弧のつけ方が次の5通り
  ((AoA)oA)oA, (Ao(AoA))oA, (AoA)o(AoA), Ao((AoA)oA), Ao(Ao(AoA))
したがって,24×64×5=7680 通り
しかし,この中には
  (A*B)+(C-D)とC+((A*B)-D)
のように恒等的に等しい式が含まれます。
また,さらに
  D-((A*B)+C)
も符号が違うだけなので,絶対値を取れば同値になります。
このように絶対値が恒等的に等しくなる式たちは 代表の1つだけ残して除去すると, 調べる式は 733 通りだけで済みます。

10 を作れない組み合わせは何通りあるでしょうか。
715通りの4つの数字の組合せについて計算した結果, 下記の163通り(22.8%)の組合せが 10 を作れないことがわかりました。
      0000 0001 0002 0003 0004 0005 0006 0007 0008 0009
      0011 0012 0013 0014 0015 0016 0017 0018 0022 0023
      0024 0026 0027 0029 0033 0034 0035 0036 0038 0039
      0044 0045 0047 0048 0049 0056 0057 0058 0059 0066
      0067 0068 0069 0077 0078 0079 0088 0089 0099 0111
      0112 0113 0114 0116 0117 0122 0123 0134 0144 0148
      0157 0158 0166 0167 0168 0177 0178 0188 0222 0233
      0236 0269 0277 0279 0299 0333 0335 0336 0338 0344
      0345 0348 0359 0366 0369 0388 0389 0399 0444 0445
      0447 0448 0457 0478 0479 0489 0499 0566 0567 0577
      0588 0589 0599 0666 0667 0668 0677 0678 0689 0699
      0777 0778 0788 0799 0888 1111 1112 1113 1122 1159
      1169 1177 1178 1179 1188 1399 1444 1499 1666 1667
      1677 1699 1777 2257 3444 3669 3779 3999 4444 4459
      4477 4558 4899 4999 5668 5788 5799 5899 6666 6667
      6677 6777 6778 6888 6899 6999 7777 7788 7789 7799
      7888 7999 8899
     
この163通りを見ると,0 を含むか,同じ数字を含んでいます。
  10 を作ることができない ⇒ 0 または 同じ数字を含む
逆に言うと(数学的には「逆」ではなく「対偶」です)
  0 も同じ数字も含まない ⇒ 10 を作ることができる
すなわち 0 以外の異なる4つの数字の組合せは必ず 10 を作ることができます。

問題 次の 4 つの数字を使って 10 を作ってください。
  7779  6779  1199  6699  3478  1158
解答はこれを実行して得られます。